Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Trigonometria: misura in radianti di un angolo, identità e relazioni fondamentali.
La parola chiave del corso è la multidimensionalità. Dopo aver
studiato, nel corso di Analisi 1, fenomeni caratterizzati da
una sola variabile indipendente e da una sola variabile dipendente, lo studente verrà introdotto a situazioni, più realistiche, in cui il numero delle variabili in gioco è maggiore di uno. In questo corso egli studierà solo il caso lineare, mentre lo studio del caso non lineare sarà affrontato nel corso di Analisi 2. Alla fine del corso lo studente possederà le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare; saprà applicare l’algebra lineare alla risoluzione dei sistemi lineari e allo studio della geometria in tre dimensioni.
1) Numeri complessi. Somma, prodotto, coniugato, modulo, inverso e quoziente. Rappresentazione nel piano. Parte reale e parte immaginaria. Forma trigonometrica. Potenza e radice N-esima di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra. 2) Vettori n-dimensionali. Somma, prodotto esterno e prodotto scalare in R^n. Prodotto vettoriale e prodotto misto per vettori tridimensionali. 3) Matrici. Operazioni sulle matrici: somma e prodotto per uno scalare. Matrici simmetriche, triangolari e diagonali. Prodotto di matrici. Determinante. Matrice inversa. Caratteristica di una matrice. 4) Geometria analitica nello spazio. Rappresentazione parametrica di una retta. Piani: equazioni parametriche ed equazione cartesiana. Rappresentazione cartesiana di una retta. Relazioni di parallelismo e di ortogonalità. 5) Sottospazi vettoriali di R^n. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi e dimensione. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Applicazione lineare associata ad una matrice. Nucleo e immagine delle applicazioni lineari. Formula delle dimensioni. 6) Sistemi lineari. Il metodo di Gauss. Il teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Il teorema di Rouché-Capelli. 7) Matrici diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori. Forme quadratiche. Coniche e quadriche.
TESTI DI RIFERIMENTO DELL'UNITA' DIDATTICA
- M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
- R. Betti. Elementi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE. Società Editrice Esculapio, 2000.
- M. Bramanti. Esercizi di calcolo infinitesimale e algebra lineare. Società Editrice Esculapio, 2005.
- P. Dulio, W. Pacco. Coniche e quadriche: teoria ed esercizi svolti. Società Editrice Esculapio, 2008.
- L. Grenié, M. Pedroni. Esercizi di Geometria e Algebra Lineare. Edizioni LaDotta, 2017.
La didattica è composta da lezioni frontali (40 ore), da esercitazioni (12 ore) e dal tutorato (12 ore). In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte.
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente
degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, si divide in due parti: parte A e parte B.
La parte A è una prova a risposta multipla costituita da 10 domande di natura
teorica oppure pratica. Ad ogni risposta corretta è attribuito 1 punto, ad ogni
risposta errata è attribuito -1/3. Potrà essere stabilita una soglia minima per l’accesso alla parte B. Nel caso, ciò verrà segnalato sulla pagina web del corso. La parte B consiste nella risoluzione di alcuni esercizi e nella esposizione di alcuni argomenti teorici. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. Il voto finale è la somma dei voti conseguiti nella parte A e nella parte B.
Gli studenti del primo anno, in alternativa alle modalità d’esame precedentemente descritte, possono sostenere l’esame tramite due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che
non avessero ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza al primo appello di giugno, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA.
Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance between two points in the plane. Elementary loci in the plane: line (parallelism and orthogonality conditions), circle, ellipse, parabola, and hyperbole. Powers with integer exponent, properties of powers; polynomials: divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Trigonometry: measure of angles in radiant, fundamental identities.
The keyword of the course is "multidimensionality". After studying, in the course "Analisi 1", phenomena characterized by only one independent variable and only one dependent variable, the student will be introduced to more realistic situations, where the number of variables is greater than one. In this course he will study the linear case only, while the nonlinear one will be tackled in the course "Analisi 2". At the end of the course, the student will have the basic notions of complex numbers and linear algebra; he will be able to apply linear algebra to the solution of linear systems and to the study of geometry in three dimensions.
1) Complex numbers. Sum, product, conjugate, modulus, inverse, and quotient. Representation in the plane. Real and imaginary part. Trigonometric form. N-th power and N-th root of a complex number. Fundamental theorem of algebra. 2) Vectors in n dimensions. Sum, scalar multiplication and inner product in R^n. Cross product and scalar triple product for 3D vectors. 3) Matrices. Operations with matrices: sum and scalar multiplication. Symmetric, triangular, and diagonal matrices. Matrix product. Determinant. Inverse matrix. Rank of a matrix. 4) Geometry in 3D space. Parametric representation of a straight line. Planes: parametric and cartesian equations. Cartesian representation of a straight line. Parallelism and orthogonality relations. 5) Vector subspaces of R^n. Linear dependence and independence. Bases and dimension. Orthonormal bases and orthogonal matrices. Linear application associated with a matrix. Kernel and image of linear applications. Dimensions formula. 6) Linear systems. Cramer's theorem. Homogeneous systems. Rouché theorem. Gauss method. 7) Diagonalizable matrices. Eigenvectors and eigenvalues. Quadratic forms. Conics and quadrics.
TESTI DI RIFERIMENTO DELL'UNITA' DIDATTICA
- M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2008.
- R. Betti. Elementi di GEOMETRIA e ALGEBRA LINEARE. Società Editrice Esculapio, 2000.
- M. Bramanti. Esercizi di calcolo infinitesimale e algebra lineare. Società Editrice Esculapio, 2005.
- P. Dulio, W. Pacco. Coniche e quadriche: teoria ed esercizi svolti. Società Editrice Esculapio, 2008.
- L. Grenié, M. Pedroni. Esercizi di Geometria e Algebra Lineare. Edizioni LaDotta, 2017.
The teaching is composed by lectures (40 hours), exercises (12 hours), and tutoring (12 hours). In all three activities the student is encouraged to participate with suggestions and proposals.
The exam aims to verify the achievement by students of the educational
objectives described above. In particular:
- Mastery of the methods and techniques developed
- Awareness of their theoretical foundations
- Appropriateness of the language used.
The exam can be taken only by students who have fulfilled their OFA in mathematics. It is divided into two parts: Part A and Part B. Part A is a multiple choice test consisting of 10 (theoretical or practical) questions. Every correct answer is awarded 1 point, each incorrect answer is given -1/3. A minimum threshold, to be admitted to Part B, could be fixed. In case, this will be pointed out on the course web page. Part B requires the resolution of some exercises and the exposition of some theoretical arguments. The score takes into account the correctness, clarity and the ability to justify the conclusions. The final grade is the sum of the marks obtained in Part A and Part B. First-year students, in alternative to the examination procedures described above, can take the exam with two written tests. Even students that have not satisfied their OFA in mathematics can access the first test. Instead, the access to the second test (which will take place the same day of the exam in June) requires to have fulfilled the OFA.