1. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
2. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
3. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze. Polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale: grafico e principali proprietà. Funzione esponenziale e logaritmica: grafici e principali proprietà.
4. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e con valore assoluto.
5. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.
6. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; intersezioni tra grafici. La funzione valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Funzioni pari, dispari, periodiche.
Al termine del corso lo studente possederà una buona padronanza dei metodi e delle tecniche proprie dell’analisi matematica, della geometria e dell'algebra lineare. In particolare, sarà in grado di:
1. calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e tracciarne quindi un grafico qualitativo;
2. utilizzare le principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e calcolare quindi integrali definiti;
3. usare le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare;
4. applicare l’algebra lineare alla risoluzione dei sistemi lineari e allo studio della geometria in tre dimensioni.
Al fine di conoscere le potenzialità ed i limiti degli strumenti precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con un linguaggio adeguato.
1. Numeri reali; limiti di successioni; funzioni di una sola variabile: limiti, continuità, derivate, grafici e integrali definiti.
2. Numeri complessi; vettori n-dimensionali; matrici; geometria analitica nello spazio; sistemi lineari; autovettori ed autovalori; forme quadratiche.
3. Curve.
La didattica è composta da lezioni frontali e da esercitazioni (per un totale di 72 ore), affiancate dal tutorato (18 ore). In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte.
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso;
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici;
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, è una prova orale che inizia con lo svolgimento di qualche esercizio e prosegue con l'esposizione di alcuni argomenti teorici. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. In alternativa alla modalità d’esame precedentemente descritta, gli studenti possono sostenere l’esame tramite due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che non hanno ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza del primo appello di gennaio o di quello di febbraio, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA. Ciascuna delle prove in itinere avrà struttura analoga all’esame completo.
1. Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance between two points in the plane. Elementary loci in the plane: line (parallelism and orthogonality conditions), circle. ellipse, parabola and hyperbola.
2. Equations and Inequalities of first and second degree. System of equations and inequalities.
3. Powers with integer exponent, properties of powers. Polynomials: divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Powers with rational and real exponent, graphs and main properties. Exponential and logarithmic function: graph and their main properties.
4. Irrationals equations and inequalities; equations and inequalities with exponentials, logarithms and absolute value.
5. Trigonometry: measure of angles in radiants; fundamental identity; graphs of sine, cosine and tangent. Equations and inequalities with trigonometric functions.
6. Real function of one real variable: domain, codomain, graph; intersection between graphs. Absolute value function; graphs of f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Even, odd and periodic functions.
At the end of the course the student will master the main methods and techniques of mathematical analysis. In particular, she/he will be able to:
1. compute limits and derivatives, use these tools to study the behavior of real functions of one real variable and then draw a qualitative graph;
2. use the main techniques for the determination of the primitive of a function and then compute definite integrals;
3. use the basic notions of complex numbers and linear algebra;
4. apply linear algebra to the solution of linear systems and to the study of geometry in three dimensions.
In order to know the potential and limitations of the tools described above, the student will also have a full awareness of their theoretical foundations and will express them with an adequate language.
1. Real numbers, sequences and limits, real functions of one real variable: limits, continuity, derivatives, graphs, definite integrals.
2. Complex numbers; vectors in n dimensions; matrices; geometry in 3D space; linear systems; eigenvectors and eigenvalues; quadratic forms.
3. Curves.
The teaching is composed by lectures and exercises (for a total amount of 72 hours), and tutoring (18 hours). In all three activities the student is encouraged to participate with suggestions and proposals.
The exam aims to verify the achievement by students of the educational objectives described above. In particular:
- mastery of the methods and techniques developed;
- awareness of their theoretical foundations;
- appropriateness of the language used.
The exam can be taken only by students who have fulfilled their OFA in mathematics. It is an oral test, starting with some exercises and proceeding with the exposition of some theoretical arguments. The mark takes into account the correctness, clarity and the ability to justify the conclusions. In alternative to the examination procedure described above, students can take the exam with two half-period tests. Even students that have not satisfied their OFA in mathematics can access the first test. Instead, the access to the second test (which takes place the same day of the full exam in January or in February) requires to have fulfilled the OFA. Each half-test has a similar structure of full examination.