Argomenti trattati nell'insegnamento di Analisi matematica I.
Conoscenze di base del software Excel.
Il corso si propone due obiettivi: il primo consiste nel fornire agli studenti la teoria di base della statistica descrittiva, del calcolo delle probabilità e dell’inferenza statistica; il secondo nell’insegnare come utilizzare questi metodi statistici per analizzare dati reali attraverso l’uso del software Excel. Particolare attenzione verrà data alle applicazioni in campo ingegneristico.
1. STATISTICA DESCRITTIVA
1. Rilevazione dei fenomeni statistici. Classificazione dei caratteri. Distribuzioni di frequenza (frequenze assolute, relative, cumulate). Metodi grafici per la rappresentazione di misure quantitative e categoriali.
2. Indici di posizione: medie e proprietà; moda, mediana e percentili.
3. Indici di variabilità: varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione e proprietà. Box-plot.
2. CALCOLO DELLE PROBABILITA’ E VARIABILI CASUALI
1. Esperimenti aleatori, spazio campionario ed eventi.
2. Assegnazione di una misura di probabilità all’evento. Assiomi e regole del calcolo delle probabilità. Enumerazione dei punti campionari.
3. Indipendenza e probabilità condizionata. Teorema delle probabilità totali e teorema di Bayes.
4. Distribuzioni di probabilità discrete e continue. Funzione di probabilità, di densità e di ripartizione. Valore atteso e varianza.
5. Distribuzioni di probabilità discrete: Uniforme discreta, Bernoulliana, Binomiale, Ipergeometrica, Geometrica, Binomiale negativa e Poisson.
6. Distribuzioni di probabilità continue: Uniforme continua, Normale, Esponenziale, Gamma.
7. Distribuzioni congiunte e variabili casuali indipendenti. Covarianza e correlazione. Combinazione lineare di variabili casuali, valore atteso e varianza. Teorema del limite centrale e principali applicazioni.
3. STATISTICA INFERENZIALE
1. Popolazione e campione. Il campionamento da popolazioni finite. Campione casuale.
2. Stima puntuale: stimatore e stima. Media campionaria, varianza campionaria, proporzione campionaria.
3. Proprietà di uno stimatore: non distorsione, efficienza e consistenza. Proprietà di media, varianza e proporzione campionarie.
Distribuzione normale standardizzata, T di Student, chi-quadrato, F di Fisher.
Grafici di probabilità e dei quantili.
4. Intervalli di confidenza: parte generale. Casi principali di intervalli di confidenza: per la media di una distribuzione normale (varianza nota e incognita); per la varianza di una distribuzione normale (media nota e incognita); per la differenza tra le medie di due popolazioni Normali (varianza uguale ma non nota). Intervalli di confidenza asintotici: per la media di una distribuzione qualsiasi (varianza nota e incognita); per una proporzione; per la differenza tra due proporzioni.
5. Teoria dei test statistici: ipotesi nulla e alternativa, semplice e composta, regione di accettazione e di rifiuto, p-value, errore del primo e del secondo tipo, livelli di confidenza, potenza del test, funzione di potenza.
6. Test unidirezionali e bidirezionali: per la media di una distribuzione normale (varianza nota e incognita); per la varianza di una distribuzione normale (media nota e incognita); per la differenza tra le medie di due popolazioni Normali (varianza uguale ma non nota); per una proporzione; per la differenza tra due proporzioni.
7. Il modello di regressione lineare semplice: stima dei parametri, bontà di adattamento, test di significatività. Previsione.
Estensione al modello di regressione multiplo.
Le lezioni (32 ore) e le esercitazioni (16 ore) sono frontali. Per le esercitazioni gli studenti vengono suddivisi in gruppi.
I materiali didattici (slides, esercizi ed eventuale altro materiale aggiuntivo) per la preparazione all'esame vengono caricati dai docenti sulla pagina e-learning del corso.
Due prove in itinere al computer, ciascuna formata da domande di teoria ed esercizi per risolvere i quali lo studente dovrà utilizzare Excel.
Il tempo a disposizione è pari a 60 minuti per ogni prova.
Entrambe le prove si considerano superate se il voto è almeno pari a 15.
L’esame è superato se la media dei voti delle due prove è almeno pari a 18.
Una prova totale al computer formata da domande di teoria ed esercizi per risolvere i quali lo studente dovrà utilizzare Excel.
Il tempo a disposizione è pari a 90 minuti.
L’esame si ritiene superato se la votazione è almeno pari a 18.
Program of the teaching "Analisi matematica I" (first semester).
Basic knowledge of Microsoft Excel.
The course has two goals. Firstly, it provides students with the theory of descriptive statistics, of probability and inferential statistics. Secondly, it teaches students how to use statistics for analyzing real data by using Excel. Special attention will be given to engineering applications.
1. DESCRIPTIVE STATISTICS
1. Introduction to statistical phenomena. Classification of measures. Frequency distributions (absolute, relative and cumulative frequencies). Graphical methods for representing quantitative and categorical measures.
2. Position indices: means (and properties); mode, median and percentiles.
3. Variability indices: variance, standard deviation, coefficient of variation (and properties). Box-plot.
2. PROBABILITY AND RANDOM VARIABLES
1. Random experiments, sample space and events.
2. Assigning a probability measure to the event. Axioms and rules of probability. Enumeration of sample points.
3. Independence and conditional probability. Law of total probability. Bayes' theorem.
4. Discrete and continuous probability distributions. Probability, density and distribution function. Expected value and variance.
5. Discrete Probability Distributions: Discrete Uniform, Bernoulli, Binomial, Hypergeometric, Geometric, Negative Binomial and Poisson.
6. Continuous Probability Distributions: Continuous Uniform, Normal, Exponential, Gamma.
7. Joint distributions and independent random variables. Covariance and correlation. Linear combination of random variables, expected value and variance. Central limit theorem and main applications.
3. INFERENTIAL STATISTICS
1. Population and sample. Sampling from finite populations. Random sample.
2. Point estimate: estimator and estimate. Sample mean, sample variance, sample proportion.
3. Properties of an estimator: unbiasness, efficiency and consistency. Properties of mean, variance and sample proportion.
Standard normal distribution (Z), Student's T, chi-square, Fisher's F.
Probability and quantile graphs.
4. Confidence intervals. Main cases of confidence intervals: for the mean of a normal distribution (known and unknown variance); for the variance of a normal distribution (known and unknown mean); for the difference between the means of two Normal populations (equal but unknown variance). Asymptotic confidence intervals: for the mean of any distribution (known and unknown variance); for a proportion; for the difference between two proportions.
5. statistical tests: null and alternative hypotheses, acceptance and rejection regions, p-value, first and second type errors, confidence levels, power of the test, power function.
6. One-way and two-way tests: for the mean of a normal distribution (known and unknown variance); for the variance of a normal distribution (known and unknown mean); for the difference between the means of two Normal populations (equal but unknown variance); for a proportion; for the difference between two proportions.
7. The simple linear regression model: parameter estimation, goodness of fit, significance test. Estimate of the dependent variable and forecast. Extension to the multiple regression model.
Theory lessons (32 hours) and praticals (16 hours) are frontal. For the praticals, the students are divided in groups.
The teaching material (slides, exercises and any other additional material) for exam preparation are uploaded by the teachers on the e-learning page of the course.
Two lab tests using the pc, each consisting of theory and exercises questions. Students are expected to solve questions with the use of Excel.
For each test, the available time is 60 minutes.
Both tests are considered passed if the mark is 15 or better.
The exam is passed if the average mark of the two tests is 18 or better.
In alternative, a single lab test consisting of theory and exercises questions. Students are expected to solve questions with the use of Excel.
The available time is 90 minutes.
The exam is considered passed if the mark is 18 or better.