ANALISI MATEMATICA I | Università degli studi di Bergamo - Didattica e Rubrica

ANALISI MATEMATICA I

Attività formativa monodisciplinare
Codice dell'attività formativa: 
20090

Scheda dell'insegnamento

Per studenti immatricolati al 1° anno a.a.: 
2022/2023
Insegnamento (nome in italiano): 
ANALISI MATEMATICA I
Insegnamento (nome in inglese): 
MATHEMATICAL ANALYSIS I
Tipo di attività formativa: 
Attività formativa di Base
Tipo di insegnamento: 
Obbligatoria
Settore disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Anno di corso: 
1
Anno accademico di offerta: 
2022/2023
Crediti: 
9
Responsabile della didattica: 

Altre informazioni sull'insegnamento

Modalità di erogazione: 
Didattica Convenzionale
Lingua: 
Italiano
Ciclo: 
Primo Semestre
Obbligo di frequenza: 
No
Ore di attività frontale: 
72
Ambito: 
Formazione scientifica di base
Prerequisiti

1. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e
di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà
elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i
punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due
punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni
di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed
iperbole.
2. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi:
divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con
esponente razionale o reale: loro grafico e principali proprietà. Funzione
esponenziale, suo grafico e sue principali proprietà. Logaritmo, suo
grafico e sue principali proprietà.
3. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico;
intersezioni tra grafici e loro significato algebrico; grafico della funzione
valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c.
Funzioni pari, dispari, periodiche.
4. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di
equazioni e di disequazioni.
5. Equazioni e disequazioni irrazionali; con esponenziali, logaritmi e
valore assoluto.
6. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni
fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni
e disequazioni con funzioni trigonometriche.

Obiettivi formativi

Al termine del corso lo studente possiederà una buona padronanza dei
metodi e delle tecniche proprie dell’analisi matematica. In particolare,
sarà in grado di calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per
studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e
tracciarne quindi un grafico qualitativo. Saprà inoltre utilizzare le
principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e
calcolare quindi integrali definiti. Conoscerà infine i principali criteri per lo
studio della convergenza delle serie numeriche e degli integrali impropri.
Al fine di conoscere le potenzialità ed i limiti degli strumenti
precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con
adeguata proprietà di linguaggio.

Contenuti dell'insegnamento

1. Numeri reali.
2. Limiti di successioni.
3. Serie.
4. Limiti e continuità di funzioni.
5. Derivate.
6. Primitive e Integrali definiti.
7. Integrali generalizzati

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni frontali, esercitazioni ed eventuale tutorato.
Lo studente è stimolato a partecipare in modo attivo a tutte e tre le
attività.

Modalità verifica profitto e valutazione

La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi previsti dal corso. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
Possono accedere all’esame di Analisi Matematica solo gli studenti in
regola con l’OFA in matematica.
L’esame prevede una prova pratica ed una teorica, entrambe
obbligatorie.
La prova pratica ha forma scritta, e consiste nella risoluzione di 4/6
esercizi che assegnano ciascuno un punteggio precisato all’inizio di ogni
prova.
La prova teorica può avere forma orale o scritta, e in ogni caso consiste
in 3/4 domande in cui si valuta la conoscenza di definizioni, esempi,
enunciati di teoremi, dimostrazioni. Sono tenute in considerazione anche
la pertinenza della risposta rispetto alla domanda, la capacità di sintesi,
la proprietà di linguaggio. La modalità precisa (scritta o orale) sarà
comunicata agli studenti con congruo anticipo.
Gli studenti che nell’anno accademico in corso risultano iscritti al primo
anno possono sostituire la prova d'esame con due prove in itinere.
Potranno accedere alle prove in itinere anche gli studenti iscritti al
secondo anno che ne facciano richiesta all'inizio del semestre. Potranno
sostenere la prima prova in itinere anche gli studenti che avessero
ancora da assolvere l’OFA di matematica. La prima prova in itinere si
tiene a metà corso, e riguarda la prima metà del programma. La seconda
riguarda la seconda parte del programma (comprendente i prerequisiti
contenuti nella prima parte) e si tiene in concomitanza con il primo
appello completo invernale.
Le due prove in itinere hanno la stessa modalità della prova completa. Si
accede alla seconda prova con un punteggio minimo di 15 nella prima
prova.
Nel primo appello invernale, lo studente che abbia superato la prima
prova in itinere è libero di decidere se sostenere la seconda prova in
itinere oppure la prova completa.

Altre informazioni

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza
potranno essere introdotte modifiche rispetto a quanto dichiarato nel
syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche secondo queste
modalità.

Prerequisites

1. Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality
and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of
polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers
and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance
between two points in the place: Elementary locus in the plane: line
(parallelism and orthogonality conditions), circle. ellipse, parabola and
hyperbole.
2. Powers with integer exponent, properties of powers, polynomials:
divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Powers with rational and real
exponent, graphics and main properties. Exponential functions: its
graphic and its main properties. Logarithms, its graphic and main
properties.
3. Real function of real variable: domain, codomain, graphics, intersection
between graphics. Absolute value, graphics of f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di
f(x+c), di f(x)+c. Even, odd and periodic functions.
4. Equations and Inequalities of first and second degree. System of
equations and inequalities.
5. Irrationals equations and inequalities, Equations and Inequalities with
Exponentials, Logarithm and absolute value.
6. Trigonometry: measure of angles in radiant, fundamental identity
Graphics of sine, cosine and tangent. Equations and Inequalities with
trigonometric functions

Educational goals

At the end of the course the student will master the main methods and
techniques of mathematical analysis. In particular, she/he will be able to
calculate limits and derivatives, use these tools to study the behavior of
real functions of real variable and then trace a qualitative graph. She/he
will also use the main techniques for the determination of the primitive of
a function and then compute definite integrals. Finally she/he will know
the main criteria for the study of the convergence of numerical series and
improper integrals.
In order to know the potential and limitations of the tools described
above, the student will also have a full awareness of their theoretical
foundations and will express them with adequate command of the
language.

Course content

1. Real numbers.
2. Sequences and limits.
3. Series.
4. Limits and continuity of functions.
5. Derivative.
6. Antiderivatives and definite integrals.
7. Generalized integrals

Teaching methods

The teaching is composed by lectures, exercises
and tutoring. In all three activities the student is
encouraged to participate with suggestions and proposals.

Assessment and Evaluation

The exam aims at verifying that students achieve the educational
objectives described above. In particular:
- Mastery of the methods and techniques developed
- Awareness of their theoretical foundations
- Appropriateness of the language used.
Only students who succeeded the entrance test in mathematics (OFA)
can access the exam.
The exam consists of two parts, one practical and one theoretical, both
mandatory.
The practical part is a written test, consisting of 4/6 exercises. Each
exercise will be given a grade specified at the beginning of the exam.
The theoretical test can be oral or written, and in any case it consists of
3/4 questions in which the knowledge of definitions, examples,
statements of theorems, proofs is assessed. The relevance of the answer
to the question, the ability to synthesize, the property of language are
also taken into consideration. The precise method (written or oral) will be
communicated to students well in advance.
Students who are enrolled in the first year in the current academic year
can replace the exam with two ongoing tests. Students enrolled in the
second year who request it at the beginning of the semester will also be
able to access the ongoing tests. Students who still have the mathematics OFA to complete will be allowed to take the first ongoing
test. The first ongoing test is held in the middle of the course, and
concerns the first half of the program. The second concerns the second
part of the program (including the prerequisites contained in the first
part) and is held in conjunction with the first complete winter session.
The two ongoing tests have the same modality as the complete test. The
second test is accessed with a minimum score of 15 in the first test.
In the first winter session, the student who has passed the first ongoing
test is free to decide whether to take the second ongoing test or the
complete test.

Further information

Should the course be given in the form of distance teaching, or in mixed
form, certain differences from what has been declared in the syllabus
could be introduced, so that the course and the exams fit better with this
type of teaching