1. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
2. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
3. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze. Polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale: grafico e principali proprietà. Funzione esponenziale e logaritmica: grafici e principali proprietà.
4. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e con valore assoluto.
5. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.
6. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; intersezioni tra grafici. La funzione valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Funzioni pari, dispari, periodiche.
Al termine del corso lo studente possederà una buona padronanza dei metodi e delle tecniche proprie dell’analisi matematica, della geometria e dell'algebra lineare. In particolare, sarà in grado di:
1. calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e tracciarne quindi un grafico qualitativo;
2. utilizzare le principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e calcolare quindi integrali definiti;
3. usare le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare;
4. applicare l’algebra lineare allo studio della geometria in tre dimensioni.
5. utilizzare il calcolo differenziale per funzioni di più variabili.
Al fine di conoscere le potenzialità ed i limiti degli strumenti precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con un linguaggio adeguato.
1 I numeri
Insiemi. Sommatorie, progressione geometrica, formula di Newton. I numeri reali. Massimo e minimo. Estremo superiore ed estremo inferiore. Potenze e radicali. Esponenziali e logaritmi. Numeri complessi. Funzioni.
2 Elementi di geometria e algebra lineare
Vettori nel piano e nello spazio. Geometria analitica lineare nello spazio. Lo spazio R^n. Matrici.
3 Successioni
Successioni convergenti, divergenti e irregolari; successioni monotone; calcolo dei limiti.
4 Funzioni di una variabile: limiti e continuità
Grafico di una funzione; funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti, continuità e asintoti di una funzione. Funzioni composte e inverse.
5 Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Derivata di una funzione. Regole di calcolo delle derivate. Punti stazionari, massimi e minimi locali, teorema del valor medio (o di Lagrange), test di monotonia, ricerca di massimi e minimi, il teorema di de l’Hospital. Derivate seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Calcolo differenziale e approssimazioni: il simbolo di “o piccolo”, la formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e con resto secondo Lagrange.
6 Calcolo integrale per funzioni di una variabile
L’integrale come limite di somme. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali indefiniti e definiti: per scomposizione, per sostituzione e per parti. Funzioni integrali; secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
7 Equazioni differenziali
Modelli differenziali. Equazioni del primo ordine: equazioni a variabili separabili ed equazioni lineari. Equazioni del secondo ordine omogenee e a coefficienti costanti.
8 Calcolo infinitesimale per le curve
Limiti e continuità per funzioni vettoriali di variabile reale. Curve regolari. Lunghezza di un arco di curva. Integrali di linea.
9 Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
Grafici e insiemi di livello. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali, piano tangente, differenziale. Derivate successive e approssimazioni successive. Ottimizzazione: estremi liberi.
La didattica è composta da lezioni frontali e da esercitazioni (per un totale di 72 ore), affiancate dal tutorato (18 ore). In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte modifiche rispetto a quanto dichiarato nel syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche
secondo queste modalità.
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso;
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici;
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, è una prova orale che inizia con lo svolgimento di qualche esercizio e prosegue con l'esposizione di alcuni argomenti teorici. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. In alternativa alla modalità d’esame precedentemente descritta, gli studenti possono sostenere l’esame tramite due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che non hanno ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza del primo appello di gennaio o di quello di febbraio, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA. Ciascuna delle prove in itinere avrà struttura analoga all’esame completo.
1. Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance between two points in the plane. Elementary loci in the plane: line (parallelism and orthogonality conditions), circle. ellipse, parabola and hyperbola.
2. Equations and Inequalities of first and second degree. System of equations and inequalities.
3. Powers with integer exponent, properties of powers. Polynomials: divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Powers with rational and real exponent, graphs and main properties. Exponential and logarithmic function: graph and their main properties.
4. Irrationals equations and inequalities; equations and inequalities with exponentials, logarithms and absolute value.
5. Trigonometry: measure of angles in radiants; fundamental identity; graphs of sine, cosine and tangent. Equations and inequalities with trigonometric functions.
6. Real function of one real variable: domain, codomain, graph; intersection between graphs. Absolute value function; graphs of f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Even, odd and periodic functions.
At the end of the course the student will master the main methods and techniques of mathematical analysis. In particular, she/he will be able to:
1. compute limits and derivatives, use these tools to study the behavior of real functions of one real variable and then draw a qualitative graph;
2. use the main techniques for the determination of the primitive of a function and then compute definite integrals;
3. use the basic notions of complex numbers and linear algebra;
4. apply linear algebra to the study of geometry in three dimensions.
5. use differential calculus for functions of several variables.
In order to know the potential and limitations of the tools described above, the student will also have a full awareness of their theoretical foundations and will express them with an adequate language.
1 Numbers
Sets. Summations, geometrical progression, Newton's formula. Real numbers. Maximum and minimum. Supremum and infimum. Powers and roots. Exponential and logarithm. Complex numbers. Functions.
2 Elements of geometry and linear algebra
Vectors in the plane and in the space. Space analytical geometry. The space R^n. Matrices.
3 Sequences
Convergent, divergent, and irregular sequences; monotone sequences; computation of limits.
4 Functions of a single variable: limits and continuity
Graph of a function; bounded, odd, even, monotone, and periodic functions. Limits, continuity, and asymptotes of a function. Function composition; invertible functions.
5 Differential calculus for a function of a single variable
Derivative of a function. Rules for computing derivatives. Stationary points, local maxima and minima, mean value (or Lagrange's) theorem, monotony test, the search for maxima and minima, de l’Hospital theorem. Second derivative, concavity and convexity. Drawing of the graph of a function. Differential calculus and approximations: little-o notation, Taylor-MacLaurin formula with the Peano and the Lagrange form of the remainder.
6 Integral calculus for functions of a single variable
The integral as a limit of sums. The fundamental theorem of integral calculus. Computation of indefinite and definite integrals: decomposition, substitution, and by parts methods. Integral functions; second fundamental theorem of integral calculus.
7 Differential equations
Differential models. First order equations: separation of variables and linear equations. Second order homogeneous equations with constant coefficients.
8 Infinitesimal calculus for curves
Limits and continuity for vector-valued functions of a single variable. Regular curves. Length of a curve. Line integrals.
9 Differential calculus for real functions of several variables
Graphs and level sets. Limits and continuity for functions of several variables. Partial derivatives, tangent plane, differential. Higher order derivatives and higher order approximations. Maxima and minima.
The teaching is composed by lectures and exercises (for a total amount of 72 hours), and tutoring (18 hours). In all three activities the student is encouraged to participate with suggestions and proposals. If remote or blended teaching is necessary, some changes will be introduced, also for the exams.
The exam aims to verify the achievement by students of the educational objectives described above. In particular:
- mastery of the methods and techniques developed;
- awareness of their theoretical foundations;
- appropriateness of the language used.
The exam can be taken only by students who have fulfilled their OFA in mathematics. It is an oral test, starting with some exercises and proceeding with the exposition of some theoretical arguments. The mark takes into account the correctness, clarity and the ability to justify the conclusions. In alternative to the examination procedure described above, students can take the exam with two half-period tests. Even students that have not satisfied their OFA in mathematics can access the first test. Instead, the access to the second test (which takes place the same day of the full exam in January or in February) requires to have fulfilled the OFA. Each half-test has a similar structure of full examination.