Prerequisiti
1. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
2. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale: loro grafico e principali proprietà. Funzione esponenziale, suo grafico e sue principali proprietà. Logaritmo, suo grafico e sue principali proprietà.
3. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; intersezioni tra grafici e loro significato algebrico; grafico della funzione valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Funzioni pari, dispari, periodiche.
4. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
5. Equazioni e disequazioni irrazionali; con esponenziali, logaritmi e valore assoluto.
6. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.
Al termine del corso lo studente possiederà una buona padronanza dei metodi e delle tecniche proprie dell’analisi matematica. In particolare, sarà in grado di calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e tracciarne quindi un grafico qualitativo. Saprà inoltre utilizzare le principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e calcolare quindi integrali definiti. Conoscerà infine i principali criteri per lo studio della convergenza delle serie numeriche e degli integrali impropri.
Al fine di conoscere le potenzialità ed i limiti degli strumenti precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con adeguata proprietà di linguaggio.
1. Numeri reali.
2. Limiti di successioni.
3. Serie.
4. Limiti e continuità di funzioni.
5. Derivate.
6. Primitive ed integrali definiti.
7. Integrali generalizzati
Il corso prevede lezioni frontali, esercitazioni ed eventuale tutorato.
In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte.
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi previsti dal corso. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
Possono accedere all’esame di Analisi Matematica solo gli studenti in regola con l’OFA in matematica.
L’esame prevede una prova pratica ed una teorica, entrambe obbligatorie.
La prova pratica ha forma scritta, e consiste nella risoluzione di 4/6 esercizi che assegnano ciascuno un punteggio che viene precisato all’inizio di ogni prova.
La prova teorica può avere forma orale o scritta, e in ogni caso consiste in 3/4 domande in cui si valuta la conoscenza di definizioni, esempi, enunciati di teoremi, dimostrazioni. Sono tenute in considerazione anche la pertinenza della risposta rispetto alla domanda, la capacità di sintesi, la proprietà di linguaggio. La modalità precisa (scritta o orale) sarà comunicata agli studenti con congruo anticipo.
Gli studenti iscritti al primo anno possono sostituire la prova d'esame con due prove in itinere. Potranno sostenere la prima prova in itinere anche gli studenti che avessero ancora da assolvere l’OFA di matematica. La prima prova in itinere si tiene a metà corso, e riguarda la prima metà del programma. La seconda riguarda la seconda parte del programma (comprendente i prerequisiti contenuti nella prima parte) e si tiene in concomitanza con il primo appello completo invernale.
Le due prove in itinere hanno la stessa modalità della prova completa. Si accede alla seconda prova con un punteggio minimo di 15 nella prima prova.
Nel primo appello invernale, lo studente che abbia superato la prima prova in itinere è libero di decidere se sostenere la seconda prova in itinere oppure la prova completa.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte modifiche rispetto a quanto dichiarato nel syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche secondo queste modalità
1. Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance between two points in the place: Elementary locus in the plane: line (parallelism and orthogonality conditions), circle. ellipse, parabola and hyperbole.
2. Powers with integer exponent, properties of powers, polynomials: divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Powers with rational and real exponent, graphics and main properties. Exponential functions: its graphic and its main properties. Logarithms, its graphic and main properties.
3. Real function of real variable: domain, codomain, graphics, intersection between graphics. Absolute value, graphics of f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Even, odd and periodic functions.
4. Equations and Inequalities of first and second degree. System of equations and inequalities.
5. Irrationals equations and inequalities, Equations and Inequalities with Exponentials, Logarithm and absolute value.
6. Trigonometry: measure of angles in radiant, fundamental identity Graphics of sine, cosine and tangent. Equations and Inequalities with trigonometric functions
At the end of the course the student will master the main methods and techniques of mathematical analysis. In particular, she/he will be able to calculate limits and derivatives, use these tools to study the behavior of real functions of real variable and then trace a qualitative graph. She/he will also use the main techniques for the determination of the primitive of a function and then compute definite integrals. Finally she/he will know the main criteria for the study of the convergence of numerical series and improper integrals.
In order to know the potential and limitations of the tools described above, the student will also have a full awareness of their theoretical foundations and will express them with adequate command of the language.
1. Real numbers.
2. Sequences and limits.
3. Series.
4. Limits and continuity of functions.
5. Derivative.
6. Antiderivatives and definite integrals.
7. Generalized integrals
Lectures and exercises
The exam aims at verifying that students achieve the educational objectives described above. In particular:
- Mastery of the methods and techniques developed
- Awareness of their theoretical foundations
- Appropriateness of the language used.
Only students who succeeded the entrance test in mathematics (OFA) can access the exam.
The exam includes a practical and a theoretical test, both mandatory.
The practical test is in written form, and consists of solving 4/6 exercises that assign a score that will be specified at the beginning of the test.
The theoretical test can be oral or written, and in any case it consists of 3/4 questions in which the knowledge of definitions, examples, statements of theorems, and proofs is assessed. The relevance of the answer to the question, the ability to synthesize, and the correct use of the mathematical language, are also taken into consideration. The precise method (written or oral) will be communicated to students well in advance.
Students who are enrolled in the first year can replace the exam with two ongoing tests. Students enrolled in the second year who request them at the beginning of the semester will also be able to access the ongoing tests. Students who still have the OFA in mathematics to complete will be able to take the first ongoing test. The first ongoing test is held in the middle of the course, and concerns the first half of the program. The second one concerns the second part of the program (including the prerequisites contained in the first part) and is held in conjunction with the first complete winter session.
The two ongoing tests have the same modality as the complete test. The second test is accessed with a minimum score of 15 in the first test.
In the first winter session, the student who has passed the first ongoing test is free to decide whether to take the second ongoing test or the complete test.
Should the course be given in the form of distance teaching, or in mixed form, certain differences from what has been declared in the syllabus could be introduced, so that the course and the exams fit better with this type of teaching