Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Trigonometria: misura in radianti di un angolo, identità e relazioni fondamentali.
La parola chiave del corso è la multidimensionalità. Dopo aver
studiato, nel corso di Analisi 1, fenomeni caratterizzati da
una sola variabile indipendente e da una sola variabile dipendente, lo studente verrà introdotto a situazioni, più realistiche, in cui il numero delle variabili in gioco è maggiore di uno. In questo corso egli studierà solo il caso lineare, mentre lo studio del caso non lineare sarà affrontato nel corso di Analisi 2. Alla fine del corso lo studente possederà le nozioni basilari dei numeri complessi e dell’algebra lineare; saprà applicare l’algebra lineare alla risoluzione dei sistemi lineari e allo studio della geometria in tre dimensioni.
1) Numeri complessi
Somma, prodotto, coniugato, modulo, inverso e quoziente. Rappresentazione nel piano. Parte reale e parte immaginaria. Forma trigonometrica. Potenza e radice N-esima di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra.
2) Vettori e matrici
Lo spazio R^n e le sue operazioni: somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare. Matrici. Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto di matrici. Matrici simmetriche, triangolari e diagonali. Determinante. Significato geometrico del determinante. Matrice inversa. Vettori tridimensionali: prodotto vettoriale, prodotto misto e loro significato geometrico. Caratteristica (o rango) di una matrice. Metodo di Kronecker.
3) Geometria analitica nello spazio
Rappresentazione parametrica di una retta. Piani: equazioni parametriche ed equazione cartesiana. Rappresentazione cartesiana di una retta. Relazioni di parallelismo e di ortogonalità.
4) Sottospazi vettoriali di R^n
Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi vettoriali. Basi e dimensione. Sottospazio generato da un numero finito di vettori. Basi ortonormali in R^n e matrici ortogonali. Applicazioni lineari da R^m a R^n. Applicazione lineare associata a una matrice. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Formula delle dimensioni. Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare da R^n a R^n. Cambiamenti di base.
5) Sistemi lineari. Il metodo di Gauss. Il teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Il teorema di Rouché-Capelli.
6) Matrici diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori. Forme quadratiche. Coniche e quadriche.
La didattica è composta da lezioni frontali (40 ore), da esercitazioni (12 ore) e dal tutorato (12 ore). In tutte e tre le attività lo studente è stimolato a partecipare con suggerimenti e proposte. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte
modifiche rispetto a quanto dichiarato nel syllabus per rendere il corso e gli esami fruibili anche
secondo queste modalità.
La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi precedentemente descritti. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
La prova d’esame, che può essere sostenuta solo dagli studenti che hanno assolto l’OFA in matematica, si divide in due parti: parte A e parte B. La parte A è una prova a risposta multipla costituita da 10 domande di natura teorica oppure pratica. Ad ogni risposta corretta è attribuito 1 punto, ad ogni risposta errata è attribuito -1/3. Potrà essere stabilita una soglia minima per l’accesso alla parte B. Nel caso, ciò verrà segnalato sulla pagina web del corso. La parte B consiste nella risoluzione di alcuni esercizi e nella esposizione di alcuni argomenti teorici. Nell’attribuzione del punteggio si tiene conto della correttezza, della chiarezza e della capacità di giustificare le conclusioni raggiunte. Il voto finale è la somma dei voti conseguiti nella parte A e nella parte B. Gli studenti del primo anno, in alternativa alle modalità d’esame precedentemente descritte, possono sostenere l’esame tramite due prove in itinere. Possono accedere alla prima prova in itinere anche gli studenti che
non hanno ancora assolto l’OFA in matematica. L’accesso alla seconda prova in itinere, che si svolgerà in corrispondenza al primo appello di giugno, richiede obbligatoriamente di aver assolto l’OFA.
Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance between two points in the plane. Elementary loci in the plane: line (parallelism and orthogonality conditions), circle, ellipse, parabola, and hyperbole. Powers with integer exponent, properties of powers; polynomials: divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Trigonometry: measure of angles in radiant, fundamental identities.
The keyword of the course is "multidimensionality". After studying, in the course "Analisi 1", phenomena characterized by only one independent variable and only one dependent variable, the student will be introduced to more realistic situations, where the number of variables is greater than one. In this course he will study the linear case only, while the nonlinear one will be tackled in the course "Analisi 2". At the end of the course, the student will have the basic notions of complex numbers and linear algebra; he will be able to apply linear algebra to the solution of linear systems and to the study of geometry in three dimensions.
1) Complex numbers
Sum, product, conjugate, modulus, inverse, and quotient. Representation in the plane. Real and imaginary part. Trigonometric form. N-th power and N-th root of a complex number. Fundamental theorem of algebra.
2) Vectors and matrices
The space R^n and its operations: sum, product by a scalar, scalar product. Matrices. Operations on matrices: sum, product by a scalar, product of matrices. Symmetric, triangular and diagonal matrices. Determinant. Geometrical meaning of the determinant. Inverse matrix. Three-dimensional vectors: vector product, mixed product and their geometrical meaning. Characteristic (or rank) of a matrix. Kronecker method.
3) Geometry in 3D space
Parametric representation of a straight line. Planes: parametric and cartesian equations. Cartesian representation of a straight line. Parallelism and orthogonality relations.
4) Vector subspaces of R^n and linear maps
Linear combinations. Linear dependence and independence. Vector subspaces. Bases and dimension. Subspace generated by a finite number of vectors. Orthonormal bases in R^n and orthogonal matrices. Linear maps from R^m to R^n. Linear map associated with a matrix. Kernel and image of a linear map. Rank–nullity theorem. Representative matrix of a linear map from R^n to R^n. Change of basis.
5) Linear systems
Cramer's theorem. Homogeneous systems. Rouché-Capelli theorem. Gauss method.
6) Diagonalizable matrices. Eigenvectors and eigenvalues. Quadratic forms. Conics and quadrics.
The teaching is composed by lectures (40 hours), exercises (12 hours), and tutoring (12 hours). In all three activities the student is encouraged to participate with suggestions and proposals. If remote or blended teaching is necessary, some changes will be introduced, also for the exams.
The exam aims to verify the achievement by students of the educational
objectives described above. In particular:
- Mastery of the methods and techniques developed
- Awareness of their theoretical foundations
- Appropriateness of the language used.
The exam can be taken only by students who have fulfilled their OFA in mathematics. It is divided into two parts: Part A and Part B. Part A is a multiple choice test consisting of 10 (theoretical or practical) questions. Every correct answer is awarded 1 point, each incorrect answer is given -1/3. A minimum threshold, to be admitted to Part B, could be fixed. In case, this will be pointed out on the course web page. Part B requires the resolution of some exercises and the exposition of some theoretical arguments. The score takes into account the correctness, clarity and the ability to justify the conclusions. The final grade is the sum of the marks obtained in Part A and Part B. First-year students, in alternative to the examination procedures described above, can take the exam with two written tests. Even students that have not satisfied their OFA in mathematics can access the first test. Instead, the access to the second test (which will take place the same day of the exam in June) requires to have fulfilled the OFA.